Droites et plans (2)

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Étudier la position relative de la droite \(d\) de représentation paramétrique  \(\begin{cases} x=-8+2t \\ y=7-t \\ z=6+t\\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) , et du plan \(P\) d’équation \(2x +3y −z +4 = 0\) .

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Le plan \(P\) a pour équation \(2x-y+3z-2=0\) . Soit \(\text A(1~;~2~;-3)\) et \(\text B(-1~;~2~;~0)\)  deux points.

1. Démontrer que la droite \((\text A\text B)\)  et le plan \(P\) sont sécants.

2. Déterminer leur point d'intersection.

Exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Soit \(d\) la droite passant par \(\text A(-1~;~0~;~1)\) et \(\text B(-5~;-2~;~7)\) .

1.  Déterminer une représentation paramétrique de \(d\) .

2. On rappelle que le plan \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\) est l'ensemble des points de coordonnées \((x~;~y~;~0)\) avec \(x\) et \(y\) des nombres réels (c'est-à-dire l'ensemble des points de coordonnées \((x~;~y~;~z)\) tels que \(z=0\) ).

Quelle est l'intersection de la droite \(d\) avec le plan \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\)  ?

Exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

\(d\) est la droite passant par \(\text A(-1~;~2~;~0)\)  et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 0\\-1\\1\\ \end{pmatrix}\) .
1. Donner une représentation paramétrique de \(d\) . 
2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de  \(d\) avec les plans \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\) ,  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)\) et \(\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Exercice 5

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .
1. Démontrer que le plan \(P\) d’équation \(2x − y +z −8 = 0\) et la droite \(d\) passant par
\(\text A(3~;−1~;~0)\) et \(\text B(1~;~1~;−1)\) se coupent en un point \(\text I\) dont on déterminera les coordonnées.

2. Soit \(P\) le plan d’équation \(3x +2y −z −6 = 0\) . Quelles sont les coordonnées des points d’intersection de \(P\) avec les axes du repère?

Exercice 6

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

1. Démontrer que les points  \(\text A(2~;~1~;~3)\) , \(\text B(−3~;−1~;~7)\) et \(\text C(3~;~2~;~4)\) définissent un plan \(P\) .

2.  \(d\) est la droite de représentation paramétrique  \(\begin{cases} x=-7+2t \\ y=-3t \\ z=4+t\\ \end{cases}, t\in\mathbb R.\)
    a. Démontrer que \(d\) est orthogonale à \(P\) .
    b. Quelles sont les coordonnées du point \(\text H\) , intersection de  \(d\) et \(P\) ?